1- Par un contraire on peut éclairer l'autre, ou même le retrouver, le distinguer: voyons si "démesure" peut nous orienter dans notre recherche du sens de mesure.
Démesure signifie pour les savant, les érudits, qui est distant de la mesure; mais dans notre langue, il signifie d'abord: exagération, excès d'orgueil, manque de modération, aliénation à l'infini d'un devenir que rien ne freine, que rien ne cadence.
Comme opposé de démesure, "mesure" doit donc d'abord être compris au sens figuré, comme modération, maîtrise de soi qui empêche de dépasser les limites de ce qui convient. Tout va bien entendu dépendre de ce qui détermine "ce qui convient", les conformismes d'une société close ou les valeurs qui orientent une société ouverte. On parlera du sens de la mesure.

"La mesure n'est point médiocrité ou défaut de force; elle est cette sorte de plénitude intérieure et de juste proportion avec l'univers qui doit permettre à chaque être d'être soi et maître de soi, c'est à dire de tenir en main les extrêmes au lieu, soit de les fuir, soit de leur céder." Lavelle, L'erreur de Narcisse, page 205

2- Reste que "mesure" a un sens propre qui, lui, doit et peut être déterminé une fois pour toutes, car il contamine le sens figuré dans des confusions ruineuses pour la morale c'est à dire pour l'humanité. Au sens propre correspond, l'art de la mesure, l'art est dans l'application. Il vous sera facile de le faire à l'aide des citations suivantes. 

"Dès qu'on sait comparer à la grandeur qu'on étudie une grandeur de même nature, on sait mesurer ... l'opération de mesure est le processus par lequel on a recherché combien de fois l'unité est contenue dans la grandeur considérée." Boutry, Introduction à l'art de la mesure.

Deux textes de Bergson, ce grand philosophe injustement mis au piquet par ceux mêmes qui le copient vous éclaireront:
"D'une manière générale, mesurer est une opération toute humaine, qui implique qu'on superpose réellement ou idéalement deux objets l'un à l'autre un certain nombre de fois." Bergson, L'évolution créatrice, chapitre III, édition du centenaire, pages 681 et suivantes. A utiliser pour le sujet: mesurer est-ce connaître?
"De sorte qu'en définitive notre science tend toujours aux mathématiques comme à un idéal: elle vise essentiellement à mesurer ...Or, il est de l'essence des choses de l'esprit de ne pas se prêter à la mesure." Bergson, L'énergie spirituelle, édition du centenaire, page 868. A utiliser pour le sujet: peut-on tout mesurer ?

"L'échelle Celsius utilise la longueur de la colonne dans le thermomètre quand l'eau pure gèle à la pression atmosphérique normale pour définir le point 0 degré, et la longueur de la colonne lorsque l'eau bout pour établir le point 100 degrés. L'échelle Fahrenheit situe respectivement ces deux constantes à 32° F et 212° F. Ceci est aussi arbitraire que de se servir de la longueur du pied d'un roi ou d'une quelconque fraction d'un degré de latitude à la surface de la terre comme unité de longueur." O' Neil, Faits et théories, Colin 1972 (lire pages 129 à 131), pour distinguer les mesures intensives (le dur, le mou) et les mesures extensives (la quantité, le volume ...)