Pour l'introduction.
Le tableau de définition vous a permis de comprendre le sujet. Tout le long du devoir, vous devez utiliser les définitions, en les précisant, pour assurer votre argumentation, en déduisant des définitions ce que vous voulez démontrer.
En conséquence, dans l'introduction, vous donnerez des définitions concises, pour ne pas trop l'alourdir et pour garder des "munitions" qui vous seront utiles au cours du  développement.

Quelques pistes de réflexion.

"Citoyens" implique qu'il y ait un État de droit. La liberté civile a pour condition que soit assurée la sécurité des biens et des personnes. L'État se doit donc de l'assurer puisqu'il est garant de l'échange de la violence contre la liberté civile. C'est pour ainsi dire inclus dans le contrat social implicite ou explicite (si on a voté pour la constitution) qui fonde l'État de droit.
S'il s'agit de la sécurité des biens et des personnes, des citoyens et de ce qu'ils possèdent en toute légalité, la réponse à la question posée sera oui: en effet, on voit mal des milices privées s'occuper d'autre chose que des intérêts privés de ceux qui les financent.

Comment pourraient-elles être au service de tous? Seul l'État peut, au nom de la loi, assurer la sécurité de tous par des forces de police qu'il contrôle par des organismes comme, par exemple, l'Inspection Générale des services ou par une magistrature indépendante.

=> Mais, de nos jours, la sécurité a pris une grande extension, avec le développement des compagnies privées d'assurance.
La tentation est grande de se tourner vers l'État comme vers une puissance paternelle et tutélaire, pour réclamer de la solidarité nationale diverses formes de sécurité.
On parlera donc de sécurité de l'emploi pour les services du public, du droit au travail pour ceux qui n'ont pas d'emplois, de sécurité sociale avec une branche vieillesse, maladie, famille.
Certaines de ces extensions sont, de manière naturelle, assurées par sociétés privées (d'assurances) ou par les efforts de chacun des citoyens.
On peut se demander si certaines de ces formes de sécurité sont vraiment à la charge de l'État, c'est à dire à la charge de tous, si elles sont incluses par le contrat social.
Y a-t-il un droit au travail? Etc...

=> Demandez-vous ce que le citoyen peut faire pour la sécurité.

L'idée de contrat social permet-elle de penser fondamentalement la politique?

Tout dépend de l'idée , comme forme intellectuelle d'un objet, que l'on a de la politique qui est l'art de gouverner la cité, de diriger l'état:

==> ou bien on prend art au sens de technique, application d'une théorie et
l'idée de contrat social permet effectivement de penser la politique, à sa base, à son fondement. Par exemple, pour Rousseau le contrat social est une théorie qui déduit la légitimité du pouvoir et de la loi d'une convention première, d'un échange: chacun renonce à sa liberté naturelle théoriquement illimité (avant l'état et la loi il peut faire tout ce qu'il veut s'il le peut) mais pratiquement nulle (il suffit qu'il rencontre un adversaire plus fort ou deux adversaires unis pour ne plus pouvoir rien faire et recevoir un coup sur le nez) : en échange il reçoit une liberté civile limitée par la loi mais
réelle, garantie par la loi et l'état. L'individu a donc tout à gagner dans le contrat social: il échappe à la bestialité des réactions instinctives et il reçoit une sécurité assurée par la loi sans laquelle il n'y a pas de liberté possible.

=>Pensez à la délégation par l'État de certains aspects de la sécurité à des acteurs privés et le maintien du contrôle malgré la déresponsabilisation.
=>Pourquoi peut-on dire que la loi assure la sécurité? Pourquoi peut-on dire qu'elle ne fait pas que cela?
=> Ne doit-on pas repenser le concept de sécurité dans son rapport à l'humain et non à l'État ?
=>Si la loi est un être de raison, et si elle a la double universalité (par tous=liberté et pour tous=égalité), ne peut-on affirmer qu'elle assure l'égalité et la liberté des citoyens.

"La réalisation, de la liberté et de l'égalité exige que les hommes renoncent à leurs volontés particulières. Le but du gouvernement est l'accomplissement de la volonté générale" Rousseau. Le problème c'est que chaque individu préfère toujours d'abord son intérêt particulier. Ce qui explique que l'état doit veiller constamment à faire respecter la loi et sa double universalité: pour tous (égalité), par tous (liberté).
Voir l'aide En quoi la démocratie est-elle toujours à conquérir?

Conclusion: Bilan=> Conséquences Théorique? Pratique?=> Enjeu => Élargissement vers un problème.