C - Logique et Mathématique

1- De quoi il s'agit: "Est-il possible comme le pense le logicisme (Russel), de donner une définition purement logique des notions mathématiques? Ou bien la pensée mathématique possède-t-elle, comme le soutient l'intuitionnisme (Brouwer) une spécificité telle que toute reconstruction logique des mathématiques sera toujours inadéquate?" L-L Grateloup, Nouvelle anthologie philosophique, p.234.

2- "En réalité, le formalisme ne peut fonctionner sans s'alimenter, de part et d'autre à l'intuition. D'abord à l'intuition concrète qui le soutient... l'axiomatique demeure également en contact, par le haut, avec une intuition intellectuelle qu'elle peut bien repousser toujours plus loin mais non point supprimer." Blanché, L'Axiomatique, PUF, p.81.

3- "La logique est devenue, pour sa plus grande part, la théorie des structures logiques, c'est à dire de certaines structures algébriques particulières, déjà isolées partiellement par les algébristes du XIX è siècle." Lichnerowicz, dans Logique et connaissance scientifique Pléiade, p.484

4- "Le mouvement logistique a introduit deux idées nouvelles à l'encontre de celle de construction et deux idées distinctes mais que l'on a cherché à solidariser: celle d'une réduction des mathématique à la logique elle même et celle de la nature tautologique de l'une et de l'autre." J. Piaget

- "En un mot, la réalité des mathématiques est celle de leur construction... " J. Piaget, dans Logique et connaissance scientifique Pléiade, p.596

5- "... Chaque structure contient des centaines de théorèmes déduits des axiomes: et si deux d'entre eux étaient contradictoires? Si cela arrivait, le développement tout entier en deviendrait absurde... Russel énonça un paradoxe en 1919: un barbier se vante en ville de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, mais évidemment il ne rase pas ceux se rasent eux-mêmes. Il est clair, s'il le fait, qu'il ne le doit pas et s'il ne le fait pas qu'il le doit." Morris Kline, Les fondements de mathématiques, La recherche N°54.

- "La théorie des types cherche à éviter des paradoxes qu'engendre une collection d'objets contenant un élément définissable seulement en termes de cette collection." Ibidem.

- "Les intuitionnistes réclament des définitions constructives des concepts utilisés. Pour eux, l'infini existe en ce sens qu'on peut toujours trouver un ensemble fini plus grand qu'un ensemble donné."

7- "Les paradoxes sont des contradictions que l'ancienne logique ne peut exclure: si nous voulons les éliminer nous aurons donc à introduire de nouvelles règles qui excluent la formation de concepts paradoxaux. C'est dans cet esprit qu'il faut rechercher la solution du problème des paradoxes." Hans Reichenbach, Introduction à la logistique, Hermann, p.54

6- "Déjà pour une langue formelle aussi retreinte qu'est l'arithmétique, sa non-contradiction ne pourra être démontrée que par un appel à des moyens qui lui soient étrangers." Blanché L'axiomatique, p.61

- "Les différences entre logicisme et axiomatisme se sont aujourd'hui presque évanouies et la question de savoir où finit la logique et où commencent les mathématiques a perdu une bonne partie de son sens." Blanché L'axiomatique, p 99

8- "... on ne saurait trop insister sur le rôle fondamental que joue, dans ses ( du mathématicien) recherches, une intuition particulière... une sorte de divination directe... " R. Bourbaki, L'architecture des mathématiques.

9- "Grâce à l'emploi d'algorithmes de plus en plus précis et en relation, d'autre part, avec le développement de la théorie algébrique des structures, la logique est donc devenue inséparable des mathématiques." J. Piaget.

10- "Car le monde des Idées excède infiniment nos possibilités opératoires, et c'est dans l'intuition que réside l' ultima ratio (la raison dernière) de notre foi en la vérité d'un théorème - un théorème étant, selon une étymologie aujourd'hui bien oubliée, l'objet d'une vision." R. Thom, Les mathématiques "modernes" dans Pourquoi la mathématique?, 10/18, p.67

11- "Si les mathématiques sont "un devenir", toute axiomatique est également ouverte, sous peine de stérilité... C'est en vain que la pensée cherche à se poser comme référentiel neutre en proposant une explication totalitaire, intégrale, qui se refermerait sur elle même et sur le monde." L-L Grateloup, Nouvelle anthologie philosophique, p.234.